[LOGICA-STATISTICA] Il problema di Monty Hall e una semplice spiegazione per tutti: due capre e una macchina.

Questo problema è uno dei giochi matematici più interessanti tra quelli comprensibili anche ai non addetti ai lavori. Il problema è il seguente:

Immaginate di essere ad un concorso a premi con un conduttore. Di fronte a voi vi sono 3 porte. Dietro a due di esse si celano due capre, mentre dietro ad una sola porta vi è un’automobile splendida e lucente. Dovrete fare la vostra scelta e sperare che all’apertura delle porte, avrete scelto quella con dietro l’automobile.

Fino a qui niente di anomalo.

Avete statisticamente 1/3 delle probabilità di vincere l’automobile. Il problema di Monty Hall in realtà, prevede l’introduzione una variante a metà gioco, di seguito formulata:

Dopo che avrete scelto la vostra porta, il conduttore aprirà una delle altre due porte. In particolare, quella con dentro una capra. A questo punto, rimarranno chiuse ancora due porte, quella che avete scelto, e l’altra rimasta chiusa.

A questo punto il conduttore vi proporrà la possibilità di cambiare la porta da voi scelta con quella rimasta.

Potrete pensare che in questo caso, le vostre possibilità di vittoria passerebbero ad essere 50-50 (esattamente come se il gioco fosse stato sin da subito con solo 2 porte), e che quindi non avrebbe alcun senso modificare la vostra scelta iniziale.

In realtà, il problema di Monty Hall (ossia determinare se abbia senso cambiare porta o meno) ha una soluzione interessantissima e inaspettata.

Cambiare porta aumenterà la vostra probabilità iniziale di vincere di 1/3 portandola a 2/3, premiando con una maggiore probabilità di vittoria ai giocatori che decideranno di cambiare la scelta iniziale a favore dell’altra porta rimasta.

Perché?

La spiegazione logica

Esistono diversi metodi per spiegare come mai conviene cambiare porta.

Il seguente disegno, realizzato orgogliosamente al volo con Paint 3D, spiega l’arcano. La mia scelta iniziale ha il 33,3% di probabilità di vittoria (1 su 3). Le altre due porte insieme, che non ho scelto, hanno insieme il 66% di probabilità di vittoria.

Quando si elimina una delle due porte che non ho scelto, le probabilità di vincita “esterne” alla zona che ho scelto io, sempre del 66% rimangono, e confluiscono entrambe sulla porta rimasta che non ho scelto io.

Ecco perché cambiare la porta farà aumentare la probabilità di vittoria, raddoppiandola!

 

Senza titolo

 

Una spiegazione della casistica completa

Il seguente schema vi aiuterà, su base empirica, a capire che, indipendentemente dalla scelta di partenza, l’opzione di cambio vi porterà al 66,66…% di probabilità di vittoria. Ricordate, nel guardare il seguente schema, che all’atto della scelta, rimangono due porte soltanto poiché una con la capra viene fatta fuori dal conduttore.

problema-monty-hall-spiegazione-semplificata

Una simulazione statistica su 100.000 mani di gioco

Usando una banale macro di Excel (VBA) è possibile generare 100.000 mani, simulando il cambio, e 100.000 mani, non simulando il cambio, e vedere cosa succede.

Succede che su 100.000 giocate, non cambiando si ottengono 33.438 vittorie (33%), mentre cambiando si ottengono 66.562 vittorie (66%), esattamente come teorizzato.

 

Codice VBA per la simulazione del problema di Monty Hall
Sub genera()
‘ svuoto il contenuto del foglio escel
Cells.Select
Selection.ClearContents

For x = 2 To 100000
‘date le porte 1, 2 e 3
‘ scelgo casualmente in quale porta sia la macchina
dove_sta_macchina = Int((3 – 1 + 1) * Rnd + 1)
‘ simulo la scelta del giocatore (una porta su tre)
porta_scelta = Int((3 – 1 + 1) * Rnd + 1)

‘======================================================
‘ NON CAMBIO
‘ nella colonna A di excel scrivo cosa sucecde non cambiando
‘======================================================
If porta_scelta = dove_sta_macchina Then
‘(1 sta per vittoria)
Range(“a” & x).FormulaR1C1 = 1
End If

‘======================================================
‘ CAMBIO
‘ nella colonna B di escel scrivo cosa succede cambiando
‘======================================================
‘ scelgo una porta perdente da aprire che non sia quella scelta dal giocatore
If dove_sta_macchina = 1 And porta_scelta <> 2 Then apro_porta = 2
If dove_sta_macchina = 1 And porta_scelta <> 3 Then apro_porta = 3
If dove_sta_macchina = 2 And porta_scelta <> 3 Then apro_porta = 3
If dove_sta_macchina = 2 And porta_scelta <> 1 Then apro_porta = 1
If dove_sta_macchina = 3 And porta_scelta <> 2 Then apro_porta = 2
If dove_sta_macchina = 3 And porta_scelta <> 1 Then apro_porta = 1
‘ ora che so quale porta è aperta, cambio con l’altra
If apro_porta = 1 And porta_scelta = 2 Then nuova_scelta = 3
If apro_porta = 1 And porta_scelta = 3 Then nuova_scelta = 2
If apro_porta = 2 And porta_scelta = 1 Then nuova_scelta = 3
If apro_porta = 2 And porta_scelta = 3 Then nuova_scelta = 1
If apro_porta = 3 And porta_scelta = 2 Then nuova_scelta = 1
If apro_porta = 3 And porta_scelta = 1 Then nuova_scelta = 2
If nuova_scelta = dove_sta_macchina Then
‘(1 sta per vittoria)
Range(“b” & x).FormulaR1C1 = 1
End If

Next
‘ creo i totali nella prima riga per vedere quante vincite ottengo nei due casi
Range(“A1”).Select
ActiveCell.FormulaR1C1 = “=SUM(R[1]C:R[100000]C)”
Range(“A1”).Select
Selection.Copy
Application.CutCopyMode = False
Selection.Copy
Range(“B1”).Select
ActiveSheet.Paste

End Sub

A cosa altro si può applicare questo genere di incremento da esclusione?

Sicuramente al gioco dei pacchi, in cui nel momento in cui si distribuiscono 20 pacchi, di cui 1 al giocatore, gli altri 19 pacchi sono quelli che maggiormente hanno la possibilità di ottenere il maxi premio. Nel momento in cui il giocatore si dovesse trovare con un 2 pacchi rimanenti (uno in mano propria e uno di uno degli altri giocatori) e gli venisse chiesto di cambiare il pacco, sarebbe fortemente avvantaggiato nel farlo, poiché passerebbe da 1/20 (5% di probabilità di vittoria) al 95% di probabilità di vittoria (19 su 20).

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