A pranzo mi reco in un supermercato di zona e mi trovo quasi sempre davanti allo stesso dilemma: il parcheggio davanti all’ingresso è quasi sempre pieno, e la strada che mi avvicina all’entrata del supermercato (alle porte scorrevoli) ha due file di parcheggi a spina consentendo di parcheggiare (se sei fortunato) davanti all’entrata, oppure fino a 200 metri di distanza. La domanda che mi faccio ogni volta è sempre la stessa: mi fermo al primo posto libero che vedo, o continuo a girare sperando di trovarne uno più vicino?
Istintivamente la risposta sembra ovvia: “dipende dalla fortuna”. Ma in realtà no, dietro a questa scelta banale si nasconde un problema matematico molto studiato, che ha un nome elegante: optimal stopping (arresto ottimale). Ed è lo stesso identico ragionamento che sta dietro al più famoso “problema della segretaria” (o, se preferite una versione più romantica, al “problema del matrimonio”: quanti pretendenti devo scartare prima di fermarmi sul migliore?).
Vediamo di capirci qualcosa, con lo stesso approccio usato per il calcolo delle partite di calcio balilla: partiamo da un caso semplificato, piccolo piccolo, e costruiamo la regola generale.
Il problema semplificato
Immaginiamo una strada con un numero fisso di posti auto, diciamo 10, disposti in fila uno dopo l’altro, e che io stia percorrendo la strada in una sola direzione, senza poter tornare indietro (se supero un posto libero e non mi fermo, quel posto è perso per sempre, magari perché nel frattempo qualcun altro lo occupa).
Ogni posto ha una “qualità” diversa, che possiamo tradurre semplicemente nella distanza dall’ingresso: il posto n. 1 è il più lontano, il posto n. 10 è il più vicino (il migliore).
Si lo so, qualche lettore mi sta già odiando… lo sento.
Il problema è che io non conosco in anticipo quali posti saranno liberi. Li scopro uno alla volta, man mano che avanzo. E per ogni posto libero devo decidere, lì per lì, se fermarmi o proseguire, senza sapere se più avanti ne troverò uno migliore o se invece troverò tutto occupato.
Sembra un problema impossibile da affrontare in modo razionale (e infatti molta gente si affida all’istinto, fermandosi al primo posto “decente”). Ma la statistica ci dice che esiste una strategia precisa, che massimizza la probabilità di scegliere il posto migliore in assoluto.
La strategia: guarda e basta, poi scegli
La strategia ottimale (dimostrata matematicamente, non è un consiglio della nonna) funziona così:
Dividi il tuo percorso in due fasi.
Fase di osservazione: per la prima parte del tragitto, non ti fermi mai, qualunque posto tu veda. Guardi soltanto, e ti segni mentalmente qual è il posto migliore visto finora. Fase di decisione: da quel punto in poi, ti fermi al primo posto che è migliore di tutti quelli visti nella fase di osservazione.
La domanda a questo punto è: quanto deve durare la fase di osservazione? Se è troppo corta, rischi di fermarti troppo presto su un posto mediocre. Se è troppo lunga, rischi di superare il posto migliore mentre stavi ancora “solo guardando”, e ti ritrovi con gli avanzi.
Il calcolo (versione semplice, con i numeri piccoli)
Facciamo come nel post sul biliardino: partiamo da un caso piccolo e calcoliamo a mano.
Supponiamo di avere solo 3 posti auto, che si presentano in un ordine casuale (quindi 6 possibili ordini di qualità: 3! = 6). Proviamo tutte le strategie possibili:
Strategia A: mi fermo sempre al primo posto (fase di osservazione = 0)
Su 6 ordini possibili, il primo posto è quello migliore in 2 casi su 6. Probabilità di successo: 2/6 = 33%.
Strategia B: osservo il primo posto e basta, poi mi fermo al primo che batte quello osservato (fase di osservazione = 1)
Qui bisogna elencare i 6 ordini possibili (dove 1 = peggiore, 3 = migliore) e vedere cosa succede applicando la regola:
3-2-1 => osservo 3, nessuno batte 3, prendo l’ultimo per forza (2) => FALLIMENTO 3-1-2 => osservo 3, nessuno batte 3, prendo l’ultimo per forza (2) => FALLIMENTO 2-3-1 => osservo 2, il secondo (3) batte 2, mi fermo => SUCCESSO 2-1-3 => osservo 2, nessuno batte 2 tra i primi, prendo il terzo per forza (3) => SUCCESSO 1-3-2 => osservo 1, il secondo (3) batte 1, mi fermo =>SUCCESSO 1-2-3 => osservo 1, il secondo (2) batte 1, mi fermo => FALLIMENTO (mi fermo sul 2, non sul 3)
Successi: 3 su 6 = 50%.
Strategia C:
osservo i primi due, poi mi fermo al primo che batte i due osservati (fase di osservazione = 2)
Con solo 3 posti, questo equivale a dire “prendo sempre l’ultimo”: successo solo quando il migliore è in terza posizione, cioè 2 volte su 6 = 33%.
Il vincitore è la Strategia B: osservare 1 posto su 3 (cioè circa un terzo del totale) e poi buttarsi sul primo migliore, dà il 50% di probabilità di azzeccare il posto perfetto. Non male, se pensiamo che “azzeccare il posto perfetto” senza nessuna strategia (fermandosi a caso) darebbe solo 1/3 = 33%.
La formula generale (dove entra il numero “e”)
Con numeri piccoli si può fare a mano come sopra. Ma se i posti auto sono, che so, 50, contare tutti gli ordini possibili diventa presto impraticabile (50! è un numero con 65 cifre… altro che le 345 persone del torneo di biliardino).
Qui la matematica ci viene in soccorso con un risultato elegantissimo. Se abbiamo N posti totali, e decidiamo di “osservare senza fermarci” i primi K posti, la probabilità di scegliere il posto migliore in assoluto è approssimativamente:
P(K) ≈ (K/N) × ln(N/K)
dove ln è il logaritmo naturale (lo stesso protagonista delle calcolatrici scientifiche che nessuno usa più).
Per trovare il K che massimizza questa probabilità, si fa quello che si fa sempre in questi casi: si deriva la funzione e si pone uguale a zero. Il risultato (ve lo risparmio, il conto è di analisi 1) è che il rapporto ottimale tra K e N è:
K/N = 1/e ≈ 0,368
dove e è il numero di Nepero, quello famoso da 2,71828… lo stesso che spunta fuori quando si parla di interesse composto o di decadimento radioattivo. E la probabilità di successo, usando questo K ottimale, è anch’essa 1/e ≈ 36,8%, indipendentemente da quanto è grande N (che sia 10 posti auto o 10.000 candidati per un lavoro, la probabilità di beccare il migliore in assoluto è sempre circa il 37%, purché si segua la strategia giusta).
Cosa significa in pratica, per il parcheggio
Tradotto nel mondo reale: se so che lungo la mia strada ci sono in media 20 posti liberi ogni mattina, dovrei:
Non fermarmi mai nei primi 20 × 0,368 ≈ 7-8 posti liberi che incontro, qualunque essi siano (anche se il primo fosse proprio davanti all’ingresso… regola crudele, lo so). Da lì in poi, fermarmi al primo posto che è migliore di tutti quelli visti finora.
Seguendo questa regola, avrò circa il 37% di probabilità di parcheggiare nel posto oggettivamente migliore di tutta la strada. Non è una garanzia (il 63% delle volte mi andrà peggio), ma è la strategia che massimizza le mie chance, e batte nettamente sia il “mi fermo sempre al primo” sia il “giro all’infinito sperando nel posto perfetto” (che tra l’altro rischia di farmi arrivare in ufficio con la macchina ancora in giro e mezzogiorno passato).
Un po’ di sano disincanto
Vale la pena notare un paio di cose, prima di applicare questa regola alla lettera domani mattina:
Il modello presuppone che io sappia in anticipo (più o meno) quanti posti troverò lungo il tragitto (il nostro N). Nella vita reale è una stima, non un dato certo. Il modello presuppone anche di poter valutare la “qualità” di un posto solo confrontandolo con quelli già visti, senza altre informazioni. Se invece so già, per esperienza, che il posto n. 15 è quasi sempre libero ed è ottimo, ovviamente uso quell’informazione e ignoro la formula. Il 37% di successo è la probabilità di trovare il posto migliore in assoluto. Se mi accontento di un posto “abbastanza buono” (uno dei primi 3-4 migliori, per dire), le probabilità salgono molto di più, e la fase di osservazione ottimale si accorcia.
Ma al netto di queste semplificazioni, la prossima volta che qualcuno vi dice “vai sempre dritto al primo posto libero, non perdere tempo”, potrete rispondere con orgoglio: “no, aspetta, prima devo completare la mia fase di osservazione del 36,8% del campione”, e godervi la faccia perplessa di chi vi ascolta.
(Lo stesso identico ragionamento, tra l’altro, si applica se state cercando casa, se state assumendo il primo candidato bravo per una posizione aperta, o se, nella versione più romantica del problema, state cercando l’anima gemella dopo aver deciso di uscire con un numero limitato di persone nella vita. La statistica, con la sua solita eleganza, non fa differenze tra un parcheggio e il grande amore.)